ความน่าจะเป็น

นิยามต่างๆ ในหัวข้อ  ความน่าจะเป็น (Probability)

 

การทดลองสุ่ม (Random experiment)  คือ การทดลองหรือการกระทำที่ไม่สามารถระบุอย่างแน่นอนว่าผลลัพธ์ในการทดลองเป็นอย่างไร 

เช่น  การโยนเหรียญเรารู้ว่าผลลัพธ์คือหงายหัวหรือก้อย  แต่ไม่รู้ว่าจะหงายหน้าใด   หรือ การโยนลูกเต๋าซึ่งสามารถออกแต้มหนึ่งถึงหก  แต่จะออกหน้าใดไม่รู้

 

แซมเปิลสเปซ (Sample space) คือ เซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่มในแต่ละครั้ง

เช่น   1. การโยนเหรียญ1 อัน 1 ครั้ง พบว่า ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นมีได้ทั้งหมด 2 ผลลัพธ์ คือ หัว (H) หรือ ก้อย (T)       ดังนั้น แซมเปิลสเปซ  S = {H, T}

         2.   การโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง พบว่า ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นมีได้ทั้งหมด 4 ผลลัพธ์

                ดังนั้น แซมเปิลสเปซ  S = {HH, HT, TH, TT}

         3. โยนลูกเต๋า 1 ลูก สนใจแต้มที่ลูกเต๋าหงาย พบว่า ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมด 6 ผลลัพธ์ คือ 1,2,3,4,5  หรือ 6               ดังนั้น แซมเปิลสเปซ  S = {1,2,3,4,5,6}

 

หมายเหตุ การทดลองสุ่มอย่างเดียวกัน อาจเขียนแซมเปิลสเปซได้หลายแบบ ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ที่เราสนใจ

 

เหตุการณ์ (Event)

ในการทดลองสุ่มบางครั้งเราสนใจเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นมากกว่าที่จะสนใจแต่ละผลลัพธ์ในแซมเปิลสเปซ เหตุการณ์ต่างๆ นี้เป็นเซตของผลลัพธ์ ดังนั้น เหตุการณ์ คือ เซตย่อยของแซมเปิลสเปซ

เช่น    จากการโยนลูกเต๋า 2 ลูกใน 1 ครั้ง ถ้าสนใจเหตุการณ์ที่ผลรวมแต้มของลูกเต๋า 2 ลูก เท่ากับ 10 ดังนั้น   เราจะได้

แซมเปิลสเปซ  S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

     และให้  E   แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมแต้มของลูกเต๋า 2 ลูกเท่ากับ 10  ดังนั้น 

                             E = {(4,6), (5,5), (6,4)}

 

นิยาม   ให้ S แทนแซมเปิลสเปซ ซึ่งเป็นเซตจำกัด และ E แทนเหตุการณ์   เราจะให้

 n(S) =  จำนวนผลลัพธ์ใน S   และ  n(E) =  จำนวนผลลัพธ์ใน E

 

จากนิยามจะพบว่า

1.  0 £ n(E) £ n(S)

2. n(E) = 0 ก็ต่อเมื่อ  E = f (ไม่มีผลลัพธ์ใน E )

3. n(E) = n(S) ก็ต่อเมื่อ E = S

 

ความน่าจะเป็น (Probability)  หมายถึง ตัวเลขที่ใช้เป็นมาตรการในการบอกโอกาสที่จะเกิดขึ้นของเหตุการณ์ว่ามีโอกาสเกิดขึ้นได้มากหรือน้อยเพียงใด   โดยค่าความน่าจะเป็นมีค่าอยู่ระหว่าง 0 กับ 1

 

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

นิยาม  ให้ S แทนแซมเปิลสเปซจากการทดลองสุ่ม โดยที่ผลลัพธ์แต่ละผลลัพธ์ใน S มีโอกาสเกิดขึ้นเท่า ๆ กัน และ E เป็นเหตุการณ์ ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E ซึ่งต่อไปจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ P(E) หมายถึงอัตราส่วนของ n(E) ต่อ n(S) นั่นคือ

 

ตัวอย่าง จากการโยนลูกเต๋า 2 ลูกใน 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมแต้มของลูกเต๋า 2 ลูก เท่ากับ 10

วิธีทำ   S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

                 (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

                 (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

     

          E = {(4,6), (5,5), (6,4)}

         จะได้ว่า   n(S) = 36  ,  n(E) = 3

ดังนั้น  P(E) =  =                                                                                     #

 

ตัวอย่าง การโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่จะเหรียญจะขึ้นหัว 1 เหรียญ

วิธีทำ    S = {HH, HT, TH, TT},   n(S) = 4

            E = {HT, TH} ,   n(E) = 2

ดังนั้น  P(E) =  =                                                                                        #

 

หมายเหตุ 

1.  ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ ก็คือ ตัวเลขตัวหนึ่งซึ่งบอกให้เราทราบว่า เหตุการณ์นั้น ๆ มีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด เช่น ถ้า P(E) =    แสดงว่า เหตุการณ์ E มีโอกาสเกิดขึ้นเพียง 1 ใน 2 หรืออาจจะกล่าวได้ว่า เหตุการณ์ E มีโอกาสเกิดขึ้นและไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่า ๆ กัน

2. ถ้า S เป็นเซตจำกัด เราทราบแล้วว่า  0 £ n(E) £ n(S)  ดังนั้น  0 £ P(E) £ 1

3.   P(E) = 0  ก็ต่อเมื่อ  E = f

4.   P(E) = 1  ก็ต่อเมื่อ  E =  S

 

การแจกแจงความน่าจะเป็น

ในการกระทำอย่างหนึ่งเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นอาจมีลักษณะเป็นตัวเลข หรือไม่เป็นตัวเลขก็ได้

เช่น ถ้าโยนลูกเต๋า  1 ลูก   แซมเปิลสเปซ คือ S = {1,2,3,4,5,6}  เมื่อสมาชิกในแซมเปิลสเปช คือ แต้มที่เป็นไปได้  กรณีนี้แซมเปิลสเปซเป็นค่าตัวเลข  

หรือ  ถ้าโยนเหรียญ 2 อันพร้อมกัน แซมเปิลสเปซ คือ  S = {HH, HT, TH, TT} ซึ่งแซมเปิลสเปซนี้ไม่เป็นตัวเลข ในบางครั้งเพื่อความสะดวกในการนำไปคำนวณ เราจึงกำหนดตัวเลขเพื่อใช้แทนสมาชิกในแซมเปิลสเปซ ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่า ตัวแปรสุ่ม

นิยาม  ตัวแปรสุ่ม (Random variables)   (หรืออาจมองว่าเป็น ฟังก์ชัน  ซึ่งใช้สัญลักษณ์  )

เราจะเรียกฟังก์ชันที่เกิดจากการความสัมพันธ์จาก แซมเปิลสเปช   ไปยัง จำนวนจริง  ว่า ตัวแปรสุ่ม

นั่นคือ   หรือ   เมื่อ  เป็นจำนวนจริงใดๆ

หมายเหตุ  โดเมนของ  มีค่าเป็น 

 

ประเภทของตัวแปรสุ่ม

  1. ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete random variable)

เป็นตัวแปรสุ่มที่แสดงค่าเป็นตัวเลข เป็นค่าที่ไม่ต่อเนื่องกัน แซมเปิลสเปซมีสมาชิกเป็นจำนวนที่นับได้  และมีRange  เป็นจุด ๆ

  1. ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง (Continuous random variable)

เป็นตัวแปรสุ่มที่แสดงค่าเป็นตัวเลข เป็นค่าที่ต่อเนื่องกัน แซมเปิลสเปซมีสมาชิกเป็นจำนวนที่นับไม่ได้ และมี Range เป็นช่วง   เช่น  ความสูง น้ำหนัก อุณหภูมิ ช่วงเวลา

 

ตัวอย่าง  (ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง)   ถ้าให้ X เป็นจำนวนเหรียญที่ขึ้นหัวในการโยนเหรียญ 2 อัน   นั่นคือ

    เมื่อ  ค่า 0 แทน TT   , ค่า 1 แทน HT และ TH ,   และ  ค่า 2 แทน HH

ซึ่งสามารถเขียนเป็นตารางแสดงแซมเปิลสเปซ และค่าของ X ดังนี้

Sample Space

HH

HT, TH

TT

2

1

0

 

ตัวอย่าง  (ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง)   ให้  X  แทนความสูงของนักเรียนให้ห้อง  จะได้ว่า  X มีค่าต่าง ๆ  กัน โดยที่ค่าที่เป็นไปได้คือ    cm

 

ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

เนื่องจากตัวแปรสุ่มเป็นการกำหนดค่าของเหตุการณ์ต่างๆ  ให้เป็นตัวเลข   ซึ่งทำให้เราสามารถหาความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มได้   และเนื่องจากตัวแปรสุ่มมีทั้งแบบต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่องเราจึงใช้นิยามที่ต่างกันดังนี้

 

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง

นิยาม  ให้  X เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งมีค่าเป็น   ฟังก์ชัน   ซึ่งกำหนดโดย

  เมื่อ    โดยที่   

และ จะเรียก   ว่า  ฟังก์ชันของความน่าจะเป็น (Probability function) โดยที่  มีคุณสมบัติดังนี้

1.   for all

2.  

 

 

ตัวอย่าง การโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง  ถ้าให้ E = {HT, TH} ถ้าให้ X แทน จำนวนเหรียญที่ขึ้นหัว

ตัวอย่าง โยนเหรียญ 3 อัน ถ้า   คือ ตัวแปรสุ่มที่แสดงจำนวนเหรียญที่ขึ้นหัว   ดังนั้นค่าความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม   ในทุก ๆ ค่าที่เป็นได้ สามารถเขียนเป็นตารางแสดงได้ดังนี้

 

เหตุการณ์

P(X = )

TTT

HTT, THT, TTH

HHT, HTH, THH

HHH

0

1

2

3

1/8

3/8

3/8

1/8

รวม

1

 

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่อง

นิยาม  ถ้า  เป็นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง   จะเรียกฟังก์ชัน   ว่าเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (Probability density function; p.d.f.) เมื่อ f  มีสมบัติดังนี้

1.   ทุกค่าของ  

2.  

 

ทฤษฏีบท  ให้  X เป็นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง  เราสามารถหาความน่าจะเป็นได้จาก

                           เมื่อ   

ซึ่งสามารถเขียนกราฟของฟังก์ชันซึ่งเป็น pdf ได้ดังนี้

 

 

 

 





รูปภาพที่เกี่ยวข้อง

ติชม


ต้องการให้คะแนนบทความนี้่ ?

สร้างโดย :


kruphare

สถานะ : ผู้ใช้ทั่วไป
คณิตศาสตร์